Matemáticas y cine.

El otro día estaba viendo por la televisión una película llamada 21 blackjack. En una escena de la película el profesor de matemáticas (Kevin Spacey) le presenta a uno de sus alumnos la siguiente situación: se encuentra en un concurso en la que debe escoger entre tres puertas (1,2 y 3). En dos de ellas hay una cabra, sin embargo en una de las 3 hay un flamante coche nuevo. El alumno responde que quiere abrir la puerta. El presentador, conocedor de lo que hay detrás de cada puerta decide abrir otra puerta diferente mostrando detrás de ella una cabra. El profesor se dirige al alumno y le pregunta, ¿cambiarías la puerta o te quedarías con la puerta que tienes? Muchos de nosotros cambiaríamos de puerta pensando que es una treta del presentador para engañarnos. ¿Cual elegiríais vosotros? Al comienzo tenemos 1/3 de probabilidades de acertar la puerta donde está el coche. Una vez que el presentador abre la puerta con una cabra, la mayoría de gente piensa que hay la misma probabilidad de acertar el coche cambiando de puerta o no (1/2), pero esto no es así, porque ha ocurrido un suceso que lo ha cambiado todo, la apertura de una puerta con una cabra (ver teorema de Bayes). Según el dilema de Monty Hall, presentador del concurso televisivo americano "Let's Make a Deal" (Hagamos un trato), deberíamos cambiar de puerta, porque la probabilidad de ganar el coche es de 2/3, contra la de 1/3 si no cambiamos. El truco está en darle la vuelta a la tortilla y ver qué probabilidad hay de que ocurra el suceso contrario, es decir, si tenemos 1/3 de probabilidades de que el coche esté en la puerta elegida, tendremos 2/3 de probabilidades de que el coche esté en las restantes dos puertas. Si Monty Hall nos abre una de las dos puertas con una cabra, la restante puerta no abierta seguirá teniendo la probabilidad de 2/3 de que esté el coche frente a 1/3 de la puerta seleccionada.

Otra película en la que aparece la teoría de juegos es Una Mente Maravillosa. Hay un diálogo en el bar en el que Nash (Russell Crowe) afirma que Adam Smith estaba equivocado, puesto que no basta con decir que el mayor bien común viene de las acciones egoístas de cada individuo. Para ilustrar su ejemplo, pone de ejemplo a 5 mujeres en un bar, siendo la chica rubia la más guapa de todas y, por tanto, el bien más preciado. Nash dice que si todos siguen su interés egoista y tratan de conquistar a la rubia, ninguno lo conseguirá, y las 4 amigas restantes no se interesarán en ellos después. Entonces, según Nash, lo que tienen que hacer es ir directamente a las 4 amigas, ignorando a la rubia. Así, dejarían de lado su interés personal, y conseguirían el bien mayor para todo el grupo. 

El equilibrio de Nash se alcanza cuando la elección de cada jugador es la mejor respuesta a las elecciones de los demás jugadores. Es decir, cuando cada jugador responde con su mejor estrategia. Como en un equilibrio de Nash, la estrategia elegida por cada jugador es su mejor estrategia, los jugadores carecen de incentivos para cambiar de estrategia. Si el equilibrio de Nash está presente en un juego, aún cuando uno de los jugadores revele la estrategia que uilizará, el hecho de conocerla no beneficia al otro. Esto no sucede igualmente en estrategias de no equilibrio, pues si uno de los jugadores sabe cuál será la estrategia del otro, puede beneficiarse de ese conocimiento y tomar ventaja e incluso perjudicar al otro jugador (Nicholson, 2001). Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash así como también existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash. Un ejemplo de todo esto es el juego de la tragedia de los comunes.  En este juego existen n jugadores que hacen uso de un bien común Aunque cada jugador puede participar en el cuidado de este bien (lo que conlleva un costo para el que lo hace), todos los jugadores tienen derecho a usarlo, lo cuiden o no. De este modo tenemos un juego n-personal donde cada jugador tiene dos estrategias: egoísta o solidario, y donde la estrategia egoísta es dominante estricta, es decir, para cualquier perfil de estrategias puras el jugador j puede mejorar su pago si elige la estrategia egoísta en lugar de la solidaria. De este modo, el juego sólo tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras y es (egoísta, egoísta,..., egoísta). Este juego ha encontrado diversas aplicaciones en la vida diaria. Consideremos por ejemplo una ciudad, con caminos libres de transito y contaminación baja como un bien común que todos debemos cuidar. Siempre existe la tentación de ser egoísta (usar automóvil particular para mejorar nuestro propio transporte por la ciudad, ignorar semáforos en rojo, etc) a pesar de que si todos siguen la misma estrategia las vialidades sufren congestionamientos extremos y surge el serio problema de la contaminación ambiental. Debido a que la ruina común es el único equilibrio de Nash, los gobiernos recurren a medidas externas para intentar cambiar los pagos por ser egoísta y llevar a nuevos equilibrios. Así el poner multas a los que no obedecen los reglamentos y encarecer el uso del transporte privado a la vez que se mejora el transporte público es una forma de conseguir que la estrategia egoísta deje de ser dominante estricta y que todas las personas puedan seguir una estrategia solidaria.

Otra de las pelis que hablan sobre matemáticas es Pi, fe en el caos. Trata sobre un matemático obsesionado con la teoría de los números. Durante toda la película intenta descifrar algún tipo de patrón en el caos del mercado bursátil.

En El efecto mariposa mediante los viajes a través del tiempo, la teoría del caos está presente en las acciones del protagonista, que intenta volver al pasado, en momentos muy puntuales, para modificar alguna variable, pero con consecuencias impredecibles y cada vez más nefastas por muy pequeño que sea el cambio. 

Referencias: Memecio | Equilibrio de Nash