domingo, 4 de diciembre de 2011

¿Es mejor apostar en unos sorteos qué en otros?

Ya estamos en el mes de la lotería de Navidad, uno de los sorteos más famosos por su carácter popular y por las fechas en las que se celebra.  Los españoles invertimos mucho dinero y sueños en dicho sorteo pero, ¿Por qué jugamos más a unos sorteos qué a otros? ¿Es mejor jugar a unos determinados sorteos que a otros? ¿Por qué?


Para todas estas preguntas existe una respuesta, la esperanza matemática (no confundir con probabilidad). 


La esperanza de una variable aleatoria X (variables cuya valor se determina mediante el azar)  que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio (un sorteo por ejemplo). Para una variable discreta se calcula como la suma de cada suceso aleatorio por la probabilidad de que ocurra.


Hablando en cristiano,  la definición de esperanza en el ámbito de los sorteos sería la relación que existe entre lo que podemos ganar o perder y la probabilidad de ganarlo o perderlo.








Ejemplos de juegos


Por ejemplo, imaginemos un juego en el que ganamos 20 euros por acertar el número de un dado y cada apuesta vale 1 euro. 


E = P(acertar) x 20 + P(fallar) x -1 = 1/6 x 20 -  5/6 =  15/6 = 2,5


Este juego es cojonudo porque la esperanza es mayor que uno, es decir, por cada euro que invertimos tenemos la esperanza de ganar 2,5. 


Ahora imaginemos la ruleta americana. En este juego se paga 35 euros a 1 por acertar el número, teniendo 38 números la ruleta. Si la apuesta vale 1 euro:


E=P(acertar) x 35 + P(fallar) x -1 = 1/38 x 35 -  37/38 = -0.0526


Este juego es desfavorable para el jugador, porque por cada euro que apostemos perderemos unos 5 céntimos. Si fuera favorable estarían los casinos llenos.... y arruinados...


Por último, imaginemos el juego de ganar un euro por acertar la cara o cruz de una moneda. La apuesta vale un euro:


E=P(acertar) x 1 + P(fallar) x -1 = 1/2 - 1/2 = 0


Este sería un juego justo, puesto que la esperanza es 0, ni ganamos ni perdemos.




¿Y los sorteos más famosos?


Este año en la Lotería de Navidad hay más números que el año pasado (100.000 vs 85.000) aunque para compensar este año los premios son mayores (400.000 vs 300.000). A pesar de todos estos cambios no es peor jugar al sorteo de Navidad del 2011 que al 2010, porque la esperanza es la misma. ¿Por qué? Porque el 70% de la recaudación se destina a premios igual que el año pasado, por tanto, la esperanza es de 0,7. Esto quiere decir que por cada 100 euros invertidos se recuperaran 70.  Esto claro está se puede calcular. Si vemos la tabla de premios:




Premios Loteria Navidad 2011


Para calcular la esperanza sumamos las probabilidades de todos los casos que se pueden producir cuando compramos un décimo por la ganancia o pérdida del suceso:

E = P(Primer Premio) x Ganancia Primer Premio + P(Segundo Premio) x Ganancia Segundo Premio + P(Cuarto Premio) x Ganancia Cuarto Premio + ...... + P(Fallar) x Pérdida por Fallo = 1/100.000 x 400.000 + 1/100.000 x 125.000 + 2/100.000 x 20.000 + .... + 99.999/100.000 x -20 =   -15

Lo que quiere decir que por cada décimo de loteria de 20 euros recuperaremos 15 euros. Está claro que unos lo harán y otros no, hablamos globalmente entre todos los participantes.


En otros sorteos como la Primitiva o el Euromillón esto es diferente, puesto que en este tipo de sorteos el Bote se suma a lo recaudado por los participantes, es decir, lo que se reparte en premios es diferente cada semana. 

Por ejemplo sabemos que el Euromillon reparte el 50% de lo recaudado en premios y la Primitiva el 55%. Por tanto la esperanza de ambos sorteos es de 0,5 y 0,55 respectivamente.

Lo bueno es que en estos sorteos hay botes. Así que la esperanza subirá cuanto más bote haya. En general, la esperanza será mayor que uno cuando el 50% o 55% de lo recaudado más el bote del sorteo sea mayor que lo que vale comprar todos los boletos de los sorteos con todas las combinaciones posibles. Esto es muy raro que pase.

Por ejemplo, si tengo más dinero que un torero y compro todos los boletos del Euromillon con todas las posibles combinaciones me gasto 152.550.720 euros.

Boletos posibles =  C (50,2) * C(9,2) = 76.275.360

Precio para comprarlos = 152.550.720 euros

Para que la esperanza sea mayor que 1, el 50% de lo recaudado más el bote debería ser mayor a 152.550.720 euros. 

Lo bueno de estos sorteos es que tienen bote pero la esperanza la conocemos a posteriori. Merece la pena jugar cuando hay un bote muy alto, cuanto más alto más esperanza. Para la Loteria de Navidad sabemos la esperanza a priori y nunca llegará a 1, por lo que será siempre desfavorable para el jugador.

Mucha suerte a todos!!!

Salu2.


Referencias: Estadística para todos | Microsiervos 













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